Quantitative note 17~間斷隨機變數的累加機率函數

Dimanche 18 Novembre 2012

現在交通警察關心的不僅是每天交通事故次數，而且也關心每天交通事故少於等於3次的機率，那麼，他們除了求取各個交通事故的機率分配外，並且必須求各交通事故的累加機率函數cumulative probability distribution，

間斷隨機變數的累加機率函數(cumulative probability distribution)~由可能的最小變量到xi的機率大小

F(X=xi)=F(xi)=P(X≦xi)=f(x1)+f(x2)....+f(xi)
本式表小於等於xi隨機變量的累加機率為小於等於xi的各隨機變量的機率的總和

F(X=xi)的F要大寫表示累加機率函數
f(x)=f(x1)+f(x2)....+f(xi)小寫表各隨機變量

累加機率函數F(x)的特性
1.F(x0)=0  x0＜X1
2.F(xn)=1
3.如果xj≧xi,則F(xj)≧F(xi) 
4.f(xi)=F(xi)-F(xi-1),xi-1為xi的前一個變量，xi-1＜xi
上面1.式表示，小於起始點的累加機率=0

2.式表示，累加大最大值Xn時的機率=1
3.式表示，如果第j個隨機變量大於等於第i個隨機變量，則第j個的累加機率大於等於第i個的累加機率，換言之，累加機率函數為一非遞減函數nondecreasing function
4.式則表示某變量的機率可以該變量的累加機率減掉前一個變量的累加機率而求得


例.一天處理件數等於3件或少於3件的機率為何?

隨機變量x           相對次數        機率函數f(x)      累加機率函數F(x)

        0                      0.37                  0.37                        0.37

        1                      0.31                  0.31                        0.68 

        2                      0.18                  0.18                        0.86

        3                      0.09                  0.09                        0.95

        4                      0.04                  0.04                        0.99

        5                      0.01                  0.01                        1

      合計                 Σ=1.00             Σf(x)=1.00

滿足機率不為負，不大於1的2個條件

依

F(3)=P(X≦3)=f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0.37+0.31+0.18+0.09=0.95

F(5)=1

結果可得，交通分隊處理交通事故件數等於3件或少於3件的機率為0.95