Quantitative note 18~間斷隨機變數的期望值與變異數

Dimanche 18 Decembre 2012

Q:何謂期望值Expected Value?~不斷的進行多次的實驗，預期會發生或觀察的到的數值或結果
                                                     ~隨機變數的平均數
                                                     ~是該隨機變數的各個隨機變量以其發生之機率為權數的加權平    
                                                        均數
                                                     ~長期實驗中，預期會發生的數值  

間斷隨機變數的期望值

         n

E(X)=μ=Σx_if(xi)

          _i=1

式中:X為間斷隨機變數，f(xi)為機率函數

由上式可知，期望值E(X)是各變量與其相對應的機率之乘積的總和
亦即，如要求出間斷隨機變數的期望值，我們必須將它的每一個變量xi乘上與該變量相對應的機率f(xi)，然後加總
該期望值即為母體平均數μ，因f(x)代表母體各變量發生的相對次數

例.
「預期」每天要處理幾件交通事故?(處理交通事故件數的期望值)
交通分隊已經知道各個交通事故處理件數的機率分配，那麼現在可以估算一下未來每天「預期」的交通事故處理件數
Q:問未來「預期」每天應處理的交通事故件數為何?
A:這個「預期處理件數」，就是隨機變數的期望值，我們可以根據下表的機率分配，將各個隨機變量乘上相對應的機率
E(X)=0*0.37+1*0.31+2*0.18+3*0.09+4*0.04+5*0.01
       =0.31+0.36+0.27+0.16+0.05
       =1.15

求出數值之後最重要的是詮釋~「預期」每天要處理1.15件交通事故

隨機變量x           率函數f(x)           xf(x)

        0                      0.37                  0                        

        1                      0.31                  0.31                         

        2                      0.18                  0.36                       

        3                      0.09                  0.27                        

        4                      0.04                  0.16                        

        5                      0.01                  0.05                        

      合計                 Σ=1.00             Σxf(x)=1.15

滿足機率不為負，不大於1的2個條件

期望值定義時，允許每次的機率(數值)不同
平均值為1/n

間斷隨機變數的期望值與變異數

變異數=平均平方離差值

                      n
V(X)=σ²=Σ(xi-μ)²f(xi)  i=次數

          _i=1

或V(X)=E[(X-μ)²](重要)★

                                        n

計算公式:V(X)=σ²=Σxi²f(xi)-μ²=E(X²)-μ²

                 i=1

標準差σ=√σ²

例.
丟二個硬幣，X為其出現正面次數，試求其期望值與變異數

E(X)=0*1/4+1*1/2+2*1/4
   =1


            n
V(X)=Σ(xi-μ)²f(xi)=σ²  i=次數

     _i=1

     n                                    n
=Σ(xi-1)²f(x)= Σxi²f(x)-μ²=E(X²)-μ²=[E(X²)-E(X)²]
 i=1         i=1
=(0-1)²*1/4+(1-1)*1/2+(2-1)*1/4
  
= 1/4+0+1/2
=1/2