Quantitative note 9~變異數

Samedi 10 Novembre 2012

 變異數(Variance)--又稱為平均平方離差值(Mean Squared Deviation)

Population variance σ²=1/N Σ (xi-μ)²⁼ 1/N Σxi²-Nμ²  (計算公式)   

                             _                _       
Sample variance s² =1/n-1 Σ (xi-X)²  =  1/n-1 Σxi²-nX²  (計算公式)     

為什麼要平方?因為不平方，則正負相抵永遠為0
為什麼在樣本用n-1?因為樣本平均數用去一個自由度

變異數的性質:
1.永遠大於等於0~不會是負數，絕對不是負數，因為平方之後為正
2.同一組資料單位改變，變異數亦不同
3.單位相同才可以比較
4.考慮所有的觀察值~優點
5.適合代數演算

6.適合運用s²對σ²作推論
7.具複名數，不易解釋(e.g.元平方)~缺點

變異係數coefficient of variation,cv=標準差平均數
/=σ/μ=√Σ(x-μ)²/5=√10/5除μ=√2/5

Quantitative note 8~平均絕對離差

Samedi 10 Novembre 2012

平均絕對離差(Mean Absolute Deviation, MAD)~距離

全距與四分位距的問題:未使用所有的觀察值
例:3,4,5,6,7
全距與四分位距只會針對最大數、最小數、第一、第三位置的數作觀察

若欲採用所有的觀察值：                                _  
平均數的離差(Deviation about the mean)=xi-X

但平均數的離差和永遠為0 
n    _
Σ(xi-X)=0
i=1
why?
因為正負值相加恆=0

故須採用平均絕對離差

母體:MAD=1/N    N   
              Σ |xi-μ|

              i=1

樣本:mad=1/n  n   

           Σ|xi-μ|

           i=1

例:3,4,5,6,7          μ=母體平均數
μ=5,5,5,5,5,
x-μ=-2,-1,0,1,2
Σ=0

|x-μ|=2,1,0,1,2  |x-μ|=絕對離差  
Σ |x-μ|=6
Σ|x-μ|/μ=6/5=平均絕對離差

(x-μ)²

⁼(2,1,0,1,2)²

^=4,1,0,1,4

Σ(x-μ)²=4+1+0+1+4=10

變異係數coefficient of variation,cv=標準差/平均數
=σ/μ=√Σ(x-μ)²/5=√10/5除μ=√2/5

Quantitative note~7未分組資料分散度的衡量~全距與四分位距

Vendredi 9 Novembre 2012

全距(Range)=largest value-small value
最簡單的衡量分散度的方法 
全距的性質:
1.單位不同時無法比較
2.&3.只考慮最大與最小值，受極端值影響

四分位距(Interquartile range, IRQ )=Q3-Q1
性質與全距類似

Example: For the following three population datasets, what are their respective(各自的) mean, range, and interquartile range?

dataset1:5,5,5,5,5
mean:5乘5/5=5
range:5-5=0
interquartile range:
=Q3-Q1
Q1=5/4=1.25進位為2，第2數為5
Q3=3乘5/4=2.75進位為3，第3數為5
Q3-Q1=5-5=0

dataset2:3,4,5,6,7
mean:(3+4+5+6+7)/5=5

range:7-3=4

interquartile range:

=Q3-Q1

Q1=5/4=1.25進位為2，第2數為4

Q3=3乘5/4=2.75進位為3，第3數為5

Q3-Q1=5-4=1

dataset3:1,3,5,7,9

mean:(1+3+5+7+9)/5=5

range:9-1=8

interquartile range:

=Q3-Q1
Q1=5/4=1.25進位為2，第2數為3

Q3=3乘5/4=2.75進位為3，第3數為5

Q3-Q1=5-3=2

結論:

不同的數組有同樣的mean, 卻可能有不同的rang, & interquartile.

Quantitative~6其他測量數

Vendredi 9 Novembre 2012

四分位數(quartiles)~將順序資料分成四等分數值的分位數，其有第1,2,3,三個四分位數
令第i個四分位數記為Qi(i=1,2,3)，是指至少有i/4的觀察值小於等於該數值，且至少有(4-i)/4的觀察值大於等於該數值

第1四分位數
先算K=n/4
若K為整數
第1四分位數為第K個與第K+1個數值的平均

若K不是整數

則取小數進位為整數的那一個數為第1四分位數

註：不同的課本與程式所採用的進位法可能有所不同

第2四分位數--中位數

第3四分位數

先算K=3n/4

若K為整數

第3四分位數為第K個與第K+1個數值的平均

若K不是整數

則取小數進位為整數的那一個數為第3四分位數

例

1,2,4,6,7,7,8,9

先算K=n/4=8/4=2

2為整數

第1四分位數為第K個與第K+1個數值的平均

第2數為2

第2+1個數即第3個數為4

[2+4]/2=3

A:3為第1四分位數

第2四分位數--中位數
1,2,4,6,7,7,8,9

(8+1)/2=4.5

4.5介於4與6之間

(4+6)/2=5

A:5為第2四分位數


第3四分位數
先算K=3n/4=24/4=6
若K為整數
第3四分位數為第K個與第K+1個數值的平均
[7+8]/2=7.5
A:7.5為第3四分位數

十分位數(deciles)~將順序資料分成十等分數值的分位數
算法
先算K=n•i/10

若K為整數
第i十分位數為第K個與第K+1個數值的平均
若K不是整數
則取小數進位為整數的那一個數為第i十分位數

例
下表為學生成績
求第5和第8個十分位數的學期成績?
78,79,80,81,82,83,83,84,84,85,86,87,88,89,90,91,92,95(共18組)

算法
第5個十分位數
先算K=n•i/10=18•5/10=9

若K為整數
第i十分位數為第K個與第K+1個數值的平均
第5個十分位數為第9個=84與第K+1個(第10個)數值=85的平均=84.5
A:84.5
means有5/10的學期成績小於等於84.5分，有5/10的學期成績大於等於84.5分

第8個十分位數
先算K=n•i/10=18•8/10=14.4

若K不是整數

則取小數進位為整數的那一個數為第i十分位數=15

第15個數為90

A:90

means有8/10的學期成績小於等於90分，有2/10的學期成績大於等於90分

百分位數(percentiles)~將順序資料分成一百等分數值的分位數
算法
先算K=n•i/100

若K為整數
第i百分位數為第K個與第K+1個數值的平均
若K不是整數
則取小數進位為整數的那一個數為第i十分位數

為達高遠不辭勞

Vendredi 9 Novembre 2012

每日生活作息中
花費在交通往返上的時間占很大部分
小至家中動線
中至外出至市區
大至出城出國

例如今早
吃個早餐就必須下樓開腳踏車鎖騎車上鎖吃完再開鎖騎回上鎖上樓
別小看這一連串動作
扣除吃的時間
大部分花在不是吃的時間上
設若這些時間可以檢省
便可以多作別的事

但這些都是不可避免的
因此讓我想到
如果什麼時間都不想被多占
那什麼都不動就是最好的了
但最後的結果就是被固著在一個不動的點上那也沒有去

例如
留在家鄉一切都是很方便的
但我所見可能只侷限那一方天地
我想念我的家鄉
我沒有非議
我只是想
如果要見更多不同事物
旅途是必要的
這些舟車勞頓是必要的
你到一地
不同的一地
逗留的時間可能很短
與花費在去這個地方的時間不成比例
但你不花這時間
你就到不了這個地方

此其所以我說
這些舟車勞頓是必要的

而現在
我就在旅途上
我知道
為了我的目的地
這些那些的麻煩是必須的
為了吃一頓早餐
開鎖上鎖也是必須的